PROJETS / STATUT ESTHETIQUE DE L'ART TECHNOLOGIQUE / BIBLIOTHEQUE DU COLLOQUE

I.LES MATHEMATIQUES ET L'ART.

C'est une ancienne tradition que les mathématiciens se soient intéressés aux possibles rapports entre leur discipline et l'art soit du point de vue de la beauté des mathématiques soit du point de vue de la théorisation d'une mathématiques de la beauté. G.H. Hardy a écrit:

"The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's must be beautiful; the ideas, like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics"(1).

Dans le chapitre "La Beauté en Mathématiques" le mathématicien Le Lionnais a remarqué:

"C'est ainsi que la beauté se deploie en mathématiques comme dans les autres sciences, comme dans les arts, comme dans la vie et comme dans la nature. Parfois comparable à celle de la musique pure, de la grande peinture ou de la poésie, les émotions qu'elle éveille sont le plus souvent d'une nature différente, qui ne peut guère se comprendre losqu'on n'en a pas ressenti en soi-mëme l'illumination"(2).

Les mathématiciens se sont intéressés pas seulement à la beauté de leur discipline mais ils ont essayé à maintes reprises de s'occuper de la beauté tout-court, de formuler des théories mathématiques de la beauté. Dans l'espoir, comme a souligné René Thom, "de retrouver par-délà les activités 'a priori' si différentes du savant et de l'artiste, une origine commune"(3).

Morris Kline fait remarquer que celui-ci est le problème délicat quand il affirme que:

"la vérification définitive d'une oeuvre d'art consiste en sa contribution au plaisir esthétique ou à la beauté. Heureusement, ou malheureusement, il s'agit d'une vérification subjective, qui dépend du degré culturel dans un secteur déterminé. A' la question si les mathématiques aient ou non une beauté à soi, seulement ceux qui ont une culture dans cette discipline peuvent donner une réponse"(4)

Le mathématicien George Francis fait observer qu'il existe un implicitly mathematical art et un explicitly mathematical art:

"Quant au premier, le contenu ou le sens mathématique se trouve surtout dans l'oeil de l'observateur. L'artiste n'a pas exprimé avec intention des idées mathématiques d'une façon esthétiquement informée. Le pur emploi de sphères, de polyèdres réguliers ou de symétrie spatiale n'a pas 'per sé' la signification que l'artiste voulût donner un sens mathématique à son oeuvre" (5).

Francis précise que la question à poser est si l'artiste veut tout simplement évoquer des images mathématiques en ceux qui observent ou si c'est le sujet même de l'oeuvre qui est mathématique. Un artiste aurait pu être vraiement inspiré par un profond résultat mathématique. Dans ce cas l'artiste évoque le théorème qui l'a inspiré seulement dans l'esprit du mathématicien initié, pas dans celui de l'observateur occasionnel. Francis cite comme exemple l'oeuvre du mathématicien Anatoly T. Fomenko (6).

Il faut immédiatement libérer l'esprit de deux genres de considérations: la première c'est que grâce à l'étude mathématique des structures esthétiques, comme l'a remarqué Ugo Volli dans son essai "Matematica e valori estetici"(7),on puisse fournir une sorte de recette pour obtenir des objets esthétiques, ou un instrument quasi exclusif, en plus exact (mathématique!), pour comprendre l'oeuvre d'art, pour établir jusque un critère de valeur de l'oeuvre d'art. L'autre considération consiste à reduire toute la question à un simple problème de mésurages afin de trouver dans les oeuvres d'art de rapports plus ou moins harmoniques. C'est cette dernière question l'une des idées généralement considérées fondamentales par les historiciens de l'art quant aux rapports entre les mathématiques et l'art: la théorie des proportions.

C'est le mathématicien George David Birkhoff qui essaye de donner une formule explicite de la sensation du plaisir esthétique

dans son long traité "A Mathematical Approach to Aesthetics". La légitimité d'une esthétique mathématique se fonde sur le fait que tous les phénomènes psychologiques et sociaux semblent révéler à l'homo mathematicus des structures logiques, et "il est mené à croire qu'un ultérieur progrès dans ces difficiles directions pourra être accompli seulement lorsque ils se seront developpés des concepts et des méthodes mathématiques plus adéquats. Plus loin encore le vaste domaine de la pensée mathématique témoigne d'une manière irréfutable que le monde objectif comme celui subjectif ont une nature mathématique."(8).

D'içi il descend que dans le domaine de l'esthétique on peut reconnaître et quantifier un ordre de genre mathématique déterminé par des facteurs comme la symétrie, la rotation, l'équilibre, la simplicité. En réalité les idées de Birkhoff laissent ouverte la question centrale: ce que nous voyons et nous ressentons devant une configuration visuelle ou un morceau de musique, et s'il soit convenable une méthode mathématique pour mesurer ce voir et ce ressentir.

Ce n'est certainement pas un cas que la plus lucide exposition sur la possibilité d'une approche mathématique aux arts fût formulée par un artiste, Max Bill. En 1949 l'artiste suisse écrivait que:

"On ne doit comprendre comme approche mathématique ce que généralement l'on appelle art calculé. Jusqu'à présent toutes manifestations artistiques étaient fondées, plus ou moins, sur de divisions et de structures géométriques... Les mathématiques n'est pas seulement un des moyens essentiels de la pensée primaire, et pourtant, l'un des recours nécessaires à la connaissance de la réalité qui nous entoure, mais, dans ses éléments fondamentales, une science des proportions, du comportement d'objet à objet, de groupe à groupe, de mouvement à mouvement. Et comme cette science a en soi- même ces éléments fondamentaux et les met en rélation significative, c'est naturel que des faits pareils puissent etre représentés, transformés en images"(9).

L'attention que les mathématiciens prêtent aux qualités esthétiques de leur discipline, comme l'on a déjà souligné, est remarquable; de là vient l'idée de plusieurs mathématiciens, contemporaines aussi, que l'activité mathématique et celle artistique soient en quelque façon très semblables, comparables. La créativité serait un des facteurs qui rapprochent mathématiques et art, plus en générale art et science. Paul Feyerabend dans son essai "Creatività: fondamento delle scienze e delle arti o vacua diceria?" a écrit:

"La créativité est de nos jours très populaire: on la cherche partout et naturellement on la retrouve partout. Aussi dans le domaine de la science sont toujours plus fréquentes les voix de ces qui attribuent les connaissances scientifiques plus significatives non pas à la graduelle application d'une méthode rigoureuse, mais plutôt à des audaces intuitions. Nous n'avons pas peur de la science, ainsi crient à un vaste public les apôtres de la profession créatrice, il ne s'ensuit pas que maintenant tout sera tari et réduit à formules par la diffusion de la science, puisque la grande science n'est pas très différente du grand art"(10).

La créativité qui devrait tout expliquer, risque de rien expliquer. Une des questions centrales est si la créativité du mathématicien puisse le mener à inventer un monde nouveau ou s'il s'agit seulement de la découverte d'un monde qui existe déjà par lui-même. Roger Penrose a dédié à ce sujet une partie de son livre The Emperor's New Mind(11). "Est-ce-qu'en mathématiques faut-il parler d'invention ou de découverte?" s'interroge Penrose. Les réponses possibles sont deux: lorsque le mathématicien obtient des nouveax résultats, il réalise seulement des constructions mentales élaborées, qui, même si elles n'ont aucun lien avec la réalité physique, possèdent pourtant une telle élégance et une telle puissance par elles-même à faire croire au chercheur que les pures

constructions mentales aient une leur réalité. Ou les mathématiciens découvrent-ils que ces pures constructions mentales

sont déjà là ("already there"), vérités dont l'existence est complètement indépendante de leurs élaborations? L'opinion de Penrose est qu'en mathématiques se produisent des situations pour lesquelles le terme découverte est certainement plus approprié que le terme invention. Dans certains cas les résultats dérivent d'une façon essentielle de la structure même plus que des contributions des mathématiciens (12).

On peut formuler des distinctions analogues pour les arts et pour les technologies. Plusieurs artistes sont convaincus que dans leurs oeuvres les plus importantes se manifestent des verités éternelles qui ont une existence à priori, pendant que les oeuvres moins importantes ont un caractère plus personnel, elles sont arbitraires, elles sont des constructions mortelles. Une oeuvre d'art peut être appreciée ou mise en discussion pendant différentes époques, mais personne peut mettre en doute une correcte démonstration d'un résultat mathématique.

Penrose precise d'une façon très explicite que les mathématiciens pensent à leur discipline comme à une activité très

créative, qui n'a rien à envier à la créativité des artistes et qu'il faut considérer, pour l'unicité et l'universalité de la création mathématique, supérieure même à celle artistique. Un art difficile, fatigant, avec son langage et son symbolisme, qui produit des résultats universellement acceptés (13).

II. LE ROLE DE L'ORDINATEUR.

Pendant les dernières années l'usage d'ordinateurs toujours plus sophistiqués et munis d'outils graphiques a changé la manière de travailler des mathématiciens, au moins d'un nombre significatif entre eux. En particulier les techniques de computer graphics ont

été utilisées pas seulement afin de visualiser des phénomènes déjà connus mais d'une manière plus intéressante pour comprendre comment résoudre des problèmes pas encore complètement connus. Pour de cas spéciphiques ces techniques ont fourni à la récherche mathématique une "new way" de prouver les résultats.

Gabriele Lolli a souligné que, à partir du 1979, nous avons la nécessité d'approcher les mathématiques aux autres sciences naturelles plus qu'avant en reconnaissant une familiarité de méthode et de comportement. Un des aspects importants que nous pouvons souligner pour cette réinterpretation c'est:

"le procés de conjecture et d'expérimentation qui produit des résultats mathématiques..Large confirmation de l'importance de ces aspects est fournie par celle qui est justement connue comme 'The Mathematical Experience'. Un personnage important pour cette réévaluation de l'aspect expérimental de la réchèrche, de l'exploration sans garanties, libre des lourdes contraintes d'une rigide trame de règles, est paradoxalement l'ordinateur. Paradoxalement parce que le rôle joué par les ordinateurs dans cette nouvelle phase est très contradictoire. Des contradictions sans fin naissent bientôt quand on commence à penser aux conséquences que l'impact des ordinateurs a sur les mathématiques, et sur les rélations entre les mathématiques et les autres disciplines, et sur la position générale des mathématiques dans le monde moderne.. L'ordinateur est dévenu un instrument qui permet de faire en mathématiques des expériments d'une manière et d'une dimension complètement nouvelles"(14).

Pourquoi pour Lolli c'est l'année 1979 le point de départ pour cette nouvelle discussion sur les fondaments philosophiques des mathématiques? Parce que le 1979 c'est l'année de publication de l'article de R.Hersh "Some Proposals for Reviving the Philosophy of Mathematics"(15), et après, deux années plus tard, du volume de P.J.Davis et R.Hersh The Mathematical Experience(16). Un des chapitres du volume est intitulé: "Why Should I Believe a Computer?"

Les deux auteurs évoquent le 'rare' évènement du 1976: l'annonce de la preuve d'un nouveau théorème de mathématiques pures fit son apparition des colonnes du journal The New York Times. L'occasion était la preuve fournie par Appel et Haken (17) de la 'Four-Color Conjecture'. L'occasion était importante pour deux raisons.

"Avant tout le problème était très fameux....Mais la méthode de la preuve était intéressante en soi même. Pour une grande partie la preuve consistait de calculs faits par l'ordinateur. Les passages intermédiaires des programmes n'étaient pas publiés; en ce sense les preuves publiées étaient 'permanently and in principle incomplete'"(18).

Davis et Hersh ont souligné "qu'en mathématiques appliqués l'ordinateur sert pour calculer une réponse approximée, lorsque la théorie est incapable de donner une réponse exacte...Mais sûrement la théorie depends de l'ordinateur pour ses conclusions; alors, les deux méthodes, théorétique et mécanique, sont comme deux vues indépendantes du même objet, le problème consiste à les coordiner...La rigueur mathématique de la preuve ne vient pas contaminée par la machine. Quant au théorème des quatre couleurs de Haken-Appel, la situation est complètement différente. Il presentent leur travail comme une preuve complète, définitive, rigoureuse...Du point de vue du philosophe, l'usage d'un ordinateur comme une partie essentielle de la preuve implique un affaiblissement du rigueur des démonstrations mathématiques. Il introduit du scepticisme, et ainsi il change d'une manière essentielle la situation, qui précédemment on supposé impliquer des conclusions indoubitables, sans place pour du scepticisme, jamais..."

Davis et Hersh pensaient aux ordinateurs très rapides, à la capacité de la machine de faire milliers de calculs en bref temps. Un chapitre de leur volume est dédié à l'intuition de la quatrième dimension. Un premier tentatif d'étudier des objets à quatre dimensions au moyen de la computer graphics fut fait par Michael Noll en 1967 et fut décrit dans une breve publication intitulée

"Displaying n-Dimensional Hyperobjects by Computers". Il parlait des mathématiques pour deux types de projections d'hyperobjets tridimensionnels et pour des rotations n-dimensionnelles. Il écrivait:

"Au début on pensait que le film généré par l'ordinateur pouvait permettre l'observation pour la visualisation des quatre dimensions spatiales..Malheureusement ça ne fut pas possible et nous sommes encore embarassés comme les abitants de Flatland(19) dans l'attente de visualiser une dimension spatiale plus haute(20)".

Ce qui ne fut techniquement pas possible à Noll, fut possible à T.Banchoff et C.Strauss de la Brown University à la fin des années '70. Ils eurent l'idée de se servir de l'animation donnée par la computer graphics, pour étudier les propriétés géométriques et topologiques des surfaces tridimensionnelles. Ensuite ils ont voulu regarder des objets à quatre dimensions qui bougeaient dans l'espace tridimensionnel. Dans une publication de ces années, ils ont écrit que la computer graphics interactive en temps réel donne l'opportunuté à un mathématique chercheur, d'étudier directément les propriétés géométriques de courbes et surfaces pendant qu'elles sont soumies à des transformations dans l'espace à trois et à quatre dimensions.

Banchoff et Strauss ont été capables de produire au moyen de l'animation à l'ordinateur un film en 16 mm intitulé The Hypercube: Projections and Slicing (21). Même si toutes les idées qu'on utilise pour étudier la troisième dimension peuvent être généralisées pour des dimensions quelqonques:

"pour la quatrième dimension c'est possible gagner visuellement une quantité considerable d'intuition géométrique, on interprétant les projections des sommets et des arêtes du 4-cube dans l'espace tridimensionnel" (22).

Cette approche à l'usage des ordinateurs était nouvelle pour la recherche mathématique. Il fut possible construire une surface sur le vidéo terminale et la deplacer et la transformer pour mieux connaitre ses proprietés. Elle est devenue une nouvelle façon de construire des modèles et un bon aide pour l'intuition aussi.

La computer graphics travaille pas seulement comme une simple visualisation de phénomènes bien connus mais aussi comme une nouvelle façon d'étudier des problèmes mathématiques, en particulier les problèmes de géométrie. On peut bien dire que pendant ces dernières années vient de se développer une nouvelle branche des mathématiques qu'on peut appeler Visual Mathematics (23). En 1987 un groupe de mathématiciens, toujours à la Brown University, y compris Thomas Banchoff, a réalisé par l'ordinateur un nouveau film en animation sur l'hypersphère. Deux d'entre eux ont écrit:

"Le fort potentiel de la computer graphics comme nouveau moyen d'exploration a été reconnu par les mathématiciens dès que cette importante technologie est devenue disponible. Dès que les méthodes de programmation et les moyens de visualisation sont devenus plus sophistiqués, la profondeur aussi que le grand nombre des applications de la computer graphics aux problèmes mathématiques sont augmentées"(24).

III. COMPUTER GRAPHICS: ART ET MATHEMATIQUES.

Herbert W. Franke croit que les critiques d'art des siècles à venir auront des opinions très différentes de celles des experts contemporaines étant donné probablement que

"les peintres et les sculpteurs aujourd'hui très appréciés seront jétés aux oubliettes et on parlera de l'avènement des moyens électroniques de communication comme d'un tournant décisif pour les destins de l'art. Et ainsi les premières timides tentatives de représentation pictural effectuées avec les nouveaux outils auront leur juste reconnaissance. Le moment historique actuel sera alors mentionné comme ce-là où furent réalisées, avec une précision photographique, des images tridimensionnelles de paysages imaginaires et de décors qui pour la première fois permettaient de capturer la réalité du mouvement et du changement"(25).

Franke parle de la computer art, ayant en tête les images fractales obtenues par les mathématiciens Peitgen e Richter (26). Penrose considère l'ensemble de Mandelbrot un exemple stupéfiant de la manière dont la pensée humaine soit guidée vers une vérité eternelle qui a sa réalité et qui se revèle seulement en part à quelqu'un d'entre nous. L'ensemble de Mandelbrot a une structure tellement élaborée qui n'a pas pu être inventée par une seule personne, ni par un groupe de mathématiciens.

La géométrie des fractales veut se présenter comme la géométrie la plus approprieé pour étudier la complexité des formes de la nature et leur évolution. Dans un récent article (27) quelques-uns des auteurs des images fractales les plus suggestives ont insisté que la géométrie fractale semble décrire les formes et

les configurations de la nature d'une façon pas seulement plus succinte mais esthétiquement plus valide par rapport aussi à la géométrie euclidienne traditionnelle. En outre, dans l'article on souligne que la correspondance entre les fractales et la moderne théorie du chaos est le signe d'une relation profonde: "la géométrie fractale est la géométrie du chaos". Enfin les fractales sont le langage même de la géométrie.

Il semble que sur la possibilité et l'utilité d'utiliser outils fractals pour mieux comprendre quelques-uns des phénomènes naturels il n'y ait pas de doutes. Mais pas tous les mathématiciens sont concordes sur les recherches qui privilègent l'aspect visuel de la géométrie fractale. Dans son article "Fractal Geometry"(28), S. G. Krantz écrit entre autres qu'une différence importante entre la géométrie fractale et le calcul différentiel est que "la géométrie fractale n'a résolu aucun type de problème". Krantz rappelle que nulle discussion sur les fractales serait complète sans le du hommage aux images:

"Elles sont superbes et apparemment elles sont la raison d'être de tout ce qu'on a dit sur les fractales. Les images des ensembles de Julia et des ensembles de Mandelbrot sont stupéfiantes pour leur complexité et diversité. Mais quand même je n'accepte pas l'assertion que l'ensemble de Mandelbrot soit à considérer l'objet mathématique le plus complexe jamais vu! Ce genre d'exagérations peut fasciner les lecteurs de magazines mais il sonne faux pour le mathématicien expert".

La question vraiement importante que Krantz pose est alors la suivante:

"Je voudrais faire une distinction entre la computer graphics des fractales et autres récentes applications de la computer graphics qui ont contribué d'une façon essentielle à la résolution de problèmes encore ouverts."

Etant donné qu'il s'agit d'une géométrie qui a produit beaucoup de nouvelles images, ceux qui les ont creé ne pouvaient pas envahir aussi le domaine de l'art. En réalisant un volume comme The Beauty of Fractals, Peitgen et Richter ont voulu présenter pas seulement la théorie mathématique mais ils ont utilisé des idées mathématiques comme illustrations, si non juste comme pretexte de leur activité créatrice, plus comme artistes que comme mathématiciens. C'est le mathématicien même qui se propose comme artiste, sans médiations.

"Science et art: deux façons complémentaires de se mettre en rélation avec la réalité naturelle, analytique la première, intuitive la seconde. Considérées diamétralement opposées, parfois inconciliables, elles sont intimement liées; dans son effort de résoudre toute la complexité des phénomènes en peu de lois fondamentales, l'homme d'étude est lui-même un visionnaire, et pas moins de ce qui, en aimant la beauté, se plonge dans la richesse des formes en se sentant partie de l'eternel devenir"(29).

Ajoute Mandelbrot dans son article contenu dans le volume:

"Je crois de pouvoir affirmer que la contribution de la géométrie fractale à la science et à l'art est absolument originale"(30).

Les fractales donc pas seulement comme langage de la nature mais aussi de l'art, ou mieux d'une nouvelle forme d'expression automatique de l'art. Les fractales comme résultat d'une complexe manipulation qui n'est pas seulement mathématique mais esthétique aussi.

Cependant sont beaucoup plus intéressantes à mon avis les images liées à la résolution d'importants problèmes mathématiques, images qui ont contribué à ouvrir nouveaux domaines de recherche et qui en même temps ont contribué aussi à la naissance de nouvelles formes de l'imaginaire mathématique-artistique.

IV. COMPUTER GRAPHICS: RECHERCHE MATHEMATIQUE ET ARTISTIQUE

Un exemple intéressant de l'emploi de la computer graphics, pas seulement du point de vue de la recherche mathématique, c'est la découverte par William Meeks et David Hoffman de nouveaux types de surfaces minimales. En ce cas l'emploi de la computer graphics a été essentielle pour obtenir une preuve formelle de l'existence des nouvelles surfaces. David Hoffamn et ses collègues ont décrit leur decouverte dans un article récent:

"En 1984 Bill Meeks et D.Hoffman ont prouvé qu'il existait un quatrième exemple qui satisfaisait tous les critères: minimalité, complété, immersion et simplicité topologique. Le nouveau exemple avait été décrit par Costa(31). Cependant, il n'existait pas une manière apparente de comprendre par les équations si la surface satisfaisait ou non les critères. Nous avons résolu immédiatement les équations. Ensuite par des programmes graphiques élaborés de J. Hoffman, nous avons pu voir la surface de différents angles et on a pu voir immédiatement que cette surface été très symetrique..

Ceci nous a permis une analyse des formules qui définissaient la surface et alors nous fûmes capables de prouver que la surface était vraiement symetryque. En utilisant cette symetrie qu'on venait de trouver nous avons prouver que la surface pouvait être décomposée en huit parties congrues, une par chaque octant. Ceci nous a permis de nous concentré sur des parties plus petites et de démontrer que chacune de ces parties, et pourtant la surface toute entière, satisfaisait les critères. La computer graphics nous a donc permis de vérifier l'existence d'un nouveau exemple qui satisfaisait tous les critères requis. L'ordinateur nous a guidé pendant la construction d'une démonstration formelle, il a fourni un instrument qui nous a permis une compréhension tellement profonde des caractéristiques de l'exemple à pouvoir construire une infinité de nouveaux exemples"(32).

Dans le cas du nouveau type de surface minimale les mathématiciens ont pu donner une épreuve formelle. Je me souviens très bien lorsqu'en Mai 1988 au MSRI à Berkeley, le fameux mathématicien J.C.C. Nitsche, après avoir vu les merveilleuses images produites par Hoffman et ses collègues, demanda: "Mais êtes-vous capables de démontrer tout cela?"(33). Ils ont été capables de donner l'épreuve formelle,mais qu'est-ce-que serait-il arrivé s'ils ne le fûrent pas?

Récemment j'ai écrit:

" On dit souvent que l'art du future depends des nouvelles technologies, en particulier la computer graphics. Depuis quelques années, grâce aux sophistications, de plus en plus nombreuses, de la computer graphics, c'est developpé un nouveau secteur des mathématiques. En considérant les problèmes où la visualisation joue un rôle important, les mathématiciens ont obténu des images dont le charme esthétique a concerné aussi des gens qui ne sont pas strictement intéressés aux questions scientifiques qui ont originés ces images"(34).

Une exposition sur les fractales intitulée "Frontiers of Chaos" est en train de voyager à travers des institutions scientifiques et artistiques du monde entier; un autre exemple d'exposition d'art et de mathématiques c'est "Getting to the Surface", une collection d'images générées par ordinateur obténues de Hoffman, Meeks et Hoffman. Abstraction faite de l'intérêt mathématique les images des nouvelles surfaces minimales sont tellement 'belles" que David Hoffman pendant une interview a dit:

"Cette collaboration entre art et science a produit des choses significatives pour les deux domaines".

C'est intéressant aussi, que le titre de l'interview était "Math-Art"(35). Plusieurs artistes, comme Stewart Dickson, ont utilisé la surface de Costa-Hoffman-Meeks comme modèle pour leurs oeuvres (36).

Un autre exemple est le "Renaissance Team", un groupe interdisciplinaire d'artistes et des mathématiciens qui travaillent au National Center for Supercomputing Applications (NCSA) à Urbana, USA. Le leader du groupe, une artiste, Donna Cox, a récemment décrit l'activité du groupe. Un projet intéressant a été la recherche de la Romboy Homotopy, la deformation de la Surface Romaine de Steiner dans la surface de Verner Boy, decouverte par le mathématicien F. Apery en 1984. George Francis, le topologiste, Donna Cox et Ray Idaszak ont réalisé un film en animation par ordinateur de la Romboy Homotopy. La première image de l'animation a été appelée Etruscan Venus, Etrusque parce que la surface romaine dérive d'elle; pour comprendre le nom Venus il est suffisant régarder à son image. En concluant son article Donna Cox a écrit:

"La visualisation en plusieurs dimensions est bien documentée soit dans l'art soit dans la science...Les ordinateurs sont un aide pour mettre en rapport les talents des artistes et des savants"(37),(38).

VI. CONCLUSIONS.

J'aimerais conclure en citant de l'article de Hoffman et ses collègues:

"Pourquoi alors les mathématiciens sont intéressés à les images? Nous avons souligné les raisons que nous supposons: - Les images générées par l'ordinateur nous permettent d'observer des nouveaux, souvent inattendus, phénomènes mathématiques.- On peut explorer des exemples plus riches, plus complèxes des phénomènes connus.- Sur la base de l'exploration des exemples et des phénomènes, on peut observer des nouveaux 'patterns'.- On peut faire de connexions plus faciles et plus avantageuses avec les autres disciplines"(32).

Aussi avec l'art, je peux ajouter.

Deux autres mathématiciens, F. Almgren and J. Sullivan qui travaillent à la visualisation des "Soap Bubbles Geometries" pour le "Geometry Supercomputing Project" à l'Université du Minnesota, ont écrit que:

"Le rapide devéloppement de la computer graphics est particulièrement excitante pour les mathématiciens. Elle nous permet de visualiser d'une façon nouvelle des objets mathématiques connus depuis longtemps. Les outils de calcul peuvent porter aussi à des nouvelles découvertes mathématiques, dont la réalisation exigera une compréhension plus profonde que la façon de visualiser les structures géométriques. Le calcul et la graphique par ordinateur viennent de changer la façon de faire mathématiques. Les capacités d'un ordinateur d'engendrer des images et la recherche de méthodes artistiques d'exprimer une vision mathématique sont très importantes au moment où nous venons de construire les nouveaux mathématiques sur les bases des connaissances de plusieurs millénaires"(39),(40).

Les ordinateurs ont fait naître des nouveaux problèmes pour les mathématiciens, on a peut-être bésoin d'une nouvelle philosophie; la computer graphics pourrait être ou non le future langage unifiant l'art et la science; en tous cas les artistes aussi devront aborder l'impact des nouvelles technologies sur leur oeuvre. Et peut-être qu'ils auront bésoin de comprendre plus de mathématiques. Autrement les mathématiciens seront-ils les artistes de l'avenir?

NOTES:

(1) G.H. Hardy, A Mathematician's Apology, Cambridge University Press, New York, 1940, p.85.

(2) François Le Lionnais (ed.) Les grands Courants de la pensée mathématique, Librairie Scientifique et Technique A. Blanchard, Paris, 1962, pp.457-458.

(3) René Thom, Local et global dans l'oeuvre d'art, dans "De la Catastrophe", Centre d' Art Contemporain, Genêve,1982, p.42..

(4) Morris Kline, Mathematics in Western Culture, Oxford University Press, New York, 1953, p. 523.

(5) George K. Francis,"On Knot-spanning Surfaces" dans M. Emmer (ed.), Visual Mathematics, numéro special, Leonardo, Pergamon Press, Oxford,â paraitre 1992.

M.Emmer La perfezione visibile, Theoria, Rome, 1991.

M.Emmer, ed The Visual Mind: Art and Mathematics, The Mit Press, 1993.

(6) Anatoly T. Fomenko, Mathematical Impressions, American Mathematical Society (AMS), Providence, 1990.

(7) Ugo Volli,"Matematica e valori estetici", dans U. Volli (ed.), La scienza e l'arte: nuove metodologie di ricerca scientifica sui fenomeni artistici, Mazzotta Ed., Milano, 1972, pp.179-199.

(8) George D. Birkhoff, "A Mathematical Approach to Aesthetics" , Scientia, 1931; "Mathematics: Quantity and Order", Science Today, 1934. Réédité dans Collected Mathematical Papers, New York, 1950.

(9) Max Bill, "Die mathematische denkweise in der kunst unserer zeit", Werk, n.3 , 1949.

(10) Paul Feyerabend, "Creatività: fondamento delle scienze e delle arti o vacua diceria?" dans P. Feyerabend et C.Thomas (eds.) Arte e Scienza, Armando editore, Roma, 1989, pp.132-133.

(11) Roger Penrose,The Emperor's New Mind , Oxford University Press, New York, 1989.

(12) Jean-Pierre Changeux, Alain Connes, Matière à Penser, Jacob, Paris, 1989.

(13) Voir aussi M. Emmer, La perfezione visibile: arte e matematica, Ediz. Theoria, Roma, 1991.

(14) Gabriele Lolli,"Una filosofia per la matematica d'oggi",Quaderni P.RI.ST.EM. n.1 (Novembre 1990) , Università Bocconi, Milano, pp.131-157.

(15) P. Hersh, "Some Proposals for reviving the Philosophy of Mathematics", Advances in Mathematics, vol. 31, 1979, pp. 31-50.

(16) P.J. Davis et R. Hersh, The Mathematical Experience, Birkhäuser, Boston, 1981.

(17) K. Appel et W. Haken,"The Four-Color problem", dans L. A. Steen (ed.), Mathematics Today, Springer-verlag, New York, 1978, pp. 153-190.

(18) Voir (16), pp.380-386.

(19) Edwin A. Abbott, Flatland: a Romance of Many Dimensions, Seeley and Co., London, 1884. Voir aussi Linda D. Henderson, The Fourth Dimension and non-Euclidean Geometry in Modern Art, Princeton University Press, Princeton, 1983.

(20) M. Noll, "A Computer technique for Displaying n-Dimensional Hyperobjects", Ass. for Computing Machinery (ACM), n. 10, 1967, p.469.

(21) C. Strauss et T. Banchoff, Hypercube, film, 16 mm., computer animation, Brown University, Providence,USA, 1978. Voir M. Emmer, "Lo spazio tra matematica ed arte", in G. Macchi (ed.), Spazio, Catalogo della sezione, ediz. La Biennale Venezia, 1986, pp.37-39.

(22) C. Strauss et T. Banchoff,"Real-time Computer Graphics Analysis of Figures in Four-Space", dans D.W. Brisson (ed.) Hypergraphics: Visualizing Complex Relationships in Art, Science and Technology, Amer. Ass. for the Advancement of Science,n.24,Washington (1978),pp.159-167.T.F.Banchoff,Beyond the Third Dimension. Geometry,Computer Graphics and Higher Dimensions, Scientific American Library, New York, 1990.

(23) M. Emmer (ed.), Visual Mathematics, numéro special, Leonardo, Pergamon Press, vol. 25 n. 3/4, 1992.

(24) H. Koçak et D. Laidlaw,"Computer Graphics and the Geometry of S3", The Mathematical intelligencer, vol.9 n.1, 1987, pp.8-11.

(25) Herbert W. Franke,"Refractions of Science into Art", in H.-O. Peitgen, & P.H. Richter,(eds.) The Beauty of Fractals, Springer-Verlag, Berlino, 1986, pp. 181-187.

(26) H.-O. Peitgen, & P.H. Richter,(eds.) The Beauty of Fractals, Springer-Verlag, Berlino, 1986.

(27) H. Jürgens, H.-O; Peitgen & D. Saupe, "Il linguaggio dei frattali", Le Scienze, n. 266 (ottobre 1990), pp. 42-49.

(28) S.G. Krantz, "Fractal Geometry", The Mathematical Intelligencer, vol. 11, n.4 (automne 1989), pp. 12-16.

(29) Voir (26), p.1.

(30) B.B. Mandelbrot, "Fractals and the Rebirth of Iteration theory", dans (26), pp.151-160. .

(31) C. Costa," Example of a Complete Minimal Immersion in R3 of Genus One and Three Embedded Ends", Bull. Soc. Bras. Mat., 15 (1984), pp. 47-54.

(32) M.J. Callahan, D.Hoffman and J.T. Hoffman, "Computer Graphics Tools for the Study of Minimal Surfaces", Comm. ACM, vol. 31 n. 6 (1988), pp. 648-661.

(33) Workshop on Differential Geometry, Calculus of Variations and Computer Graphics, MSRI, Berkeley, May 23-25, 1988.

(34) M. Emmer," Soap Bubbles in Art and Sciences: from the Past to the Future of Math Art", Leonardo, vol. 20 n.4 (1987), pp. 327-334.

(35) J. Hooper,"Math-Art", Omni Magazine, (April 1986), pp.88-91.

(36) S. Dickson,"True 3D Computer Modeling: Sculpture of Numerical Abstractions", dans (23).

(37) D.J.Cox," Using the Supercomputer to Visualize Higher Dimensions: an Artist's Contribution to Scientific Visualization" Leonardo,vol. 21 n.3 (1988), pp. 233-242.. Voir aussi G. Francis, A Topological Picturebook, Springer-Verlag, Berlin, 1987.

(38) Voir M.Emmer (ed.), L'occhio di Horus (Rome: IstitutoEnciclopedia Italiana, 1989), catalogue de l'exposition L'occhio di Horus: Itinerari nell'im-maginario matematico Italie, Janvier-Juillet 1989.

(39) F. Almgren et J. Sullivan, "Visualization of Soap Bubble Geometry", dans (23).

(40) Sur les bulles de savon dans l'art et la science voir: M. Emmer, Bolle di sapone: un viaggio tra arte, scienza e fantasia, La Nuova Italia ed., Firenze, 1991.

Document mis à jour : Thursday, January 29, 2004 09:29 AM

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